极限趋于无穷时的速度是指数函数大于幂函数大于对数函数吗？

相信大家对指数函数和幂函数并不陌生，作为常用的几大初等函数，在高中课堂上我们已经对它们了解并熟悉。二者当 x 趋于正无穷时都是趋于正无穷的函数，这就让我们产生好奇：哪一个的增长速度更快呢？老师常常会给出二者的图像，并告诉我们：当 x 很大的时候，指数函数的增长速度远大于幂函数——这直观上很好理解。

我们取 x_{0}=10000 ，探究 f(x_{0}) 和 g(x_{0}) 的大小关系：两边取对数：

lnf(x_{0})=ln2^{10000}=10000\times{ln2}\approx{6931.4718}

lng(x_{0})=ln10000^2=2\times{ln10000}\approx{18.42}

不难看出 lnf(x_{0})>>lng(x_{0}) ，所以我们有 f(x)>>g(x)(x→+∞） 一般地成立.

同时，我们亦可构造 h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{x^2}{2^x} 对其求导函数并探究其单调性.

不难找出某 \tilde{x} 当 x>\tilde{x} 时有 f(x) 单调下降，而显然 f(x)>0 ,根据单调收敛原理可以知道 f(x) 存在某个极限，但这并不足以说明 h(x) 的极限就是 0 .

那么，一般地我们该如何探究指数函数与幂函数的增长速度呢？

接下来，我将先从序列出发，引入序列极限的 \epsilon-N 定义来证明结论的一般性，即

\lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{n^\alpha}{c^n}}=0(c>1)\\

我们设 c=1+\delta(\delta>0)

原式=\frac{n^\alpha}{(1+\delta)^n}=\frac{n^\alpha}{1+n\delta+\frac{n(n-1)}{2}\delta^2+\ldots+\delta^n} (二项展开）

首先我们限制 n>[\alpha]+2 ，则必然 \exist k，s.t. k=[\alpha]+2>\alpha

\begin{align}原式&\forall \epsilon>0,取N=max｛{[\alpha]+2,[\frac{M}{\epsilon}]+k+1}｝，当n>N时，有|\frac{n^\alpha}{c^n}|\lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{n^\alpha}{c^n}}=0(c>1)\\

下面，我们要将结论推广至函数.

即 \lim_{x \rightarrow +∞}{\frac{x^\alpha}{c^x}}=0(c>1)\\

我们有\frac{[x]^\alpha}{c^{[x]+1}}